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非拡大写像の不動点近似に基づく信号処理方式とその応用に関する先駆的研究

 信号処理工学の歴史はガウスによる「最小二乗推定」とフーリエによる「直交関数展開」のアイデアにさかのぼることができる。これら、二つのアイデアが共にヒルベルト空間の「直交射影定理(一般のベクトル空間に拡張されたピタゴラスの定理)」によって極めて明快に解釈できることはよく知られている。更に、現代の情報通信システムを支えている信号処理方式の多くも「直交射影定理」の応用と見ることができる。「直交射影定理」の持つこの汎用性と有効性は「(i)ヒルベルト空間とその閉部分空間が持つ柔軟な情報表現力」と「(ii)閉部分空間中の大域的最良近似点決定問題と等価な線形方程式」をより所としており、多種多様な信号処理問題が共通の「最適化原理計算アルゴリズムのパッケージ」によって解決されてきたのである。これらの特長は新世代の信号処理方式の構築にあたっても十分に尊重され、踏襲されるべきであろう。
 本研究では、直交射影を写像として眺めたとき、「線形な非拡大写像(1をリプシッツ定数とする写像)」となっており、その不動点集合(すべての不動点からなる集合)が閉部分空間になっている事実が注目された。次に、任意の閉凸集合が非線形の非拡大写像の不動点集合として表現できる事実が注目され、一般の非拡大写像の不動点集合を制約集合とする変分不等式問題(不動点集合上の凸最適化問題)とそのアルゴリズムを新世代の信号処理方式の「最適化原理と計算アルゴリズムのパッケージ」として実現する構想に至った。2001年には非拡大写像の不動点集合上の変分不等式問題(凸最適化問題の一般化)に対する極めて簡潔な逐次近似アルゴリズム(ハイブリッド最急降下法)とその収束定理を世界に先駆けて与えることに成功している。更に、2003年には劣勾配射影と呼ばれる準非拡大写像を用い、閉凸集合上で凸関数列の漸近最小化問題に対するアルゴリズム(適応射影劣勾配法)とその収束定理を示すとともに、この収束定理を用いて、従来のアルゴリズムの性能を凌駕する多くの高性能適応信号処理アルゴリズムが統一的に導かれることを明らかにしている。ハイブリッド最急降下法と適応射影劣勾配法は(準)非拡大写像の不動点集合が備えた豊かな情報表現能力を信号処理機能として最大限に生かす大胆な発想のたまものであり、新世代の信号処理方式の基幹アルゴリズムとなっている。
 1960年代以降、非線形関数解析学における不動点原理論の主な対象は非拡大写像となっており、重要な非線形問題(例えば非可微分凸最適化問題など)の多くが非拡大写像の不動点問題に帰着されることが知られている。ハイブリッド最急降下法はP.L. Lions(1994年度フィールズ賞)等のアンカー法の非自明な一般化となっており、多くの数学者、数理工学者によって本研究の定理の一般化が試みられている。また、ウェーブレットを用いた画像復元問題で著名なフランスの研究グループがハイブリッド最急降下法を採用するなど、国内外の多くの研究者によってその優れた性能が実証されている。一方、適応射影劣勾配法は既に無線通信の適応受信問題、適応音響信号処理問題、オンライン機械学習問題等の応用においてその優れた性能が広く実証されている。


 本研究の成果に対して、電子情報通信学会は、2009年、山田功に業績賞を贈った。

文献

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4. 山田功, 射影型適応アルゴリズムの新展開— 射影劣こう配法による統一的視点とその応用, 電子情報通信学会誌, vol.86, no.8, pp.654–658, 2003.

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16. 山田功, 最適化と信号処理(後編)--低階数最小分散擬似不偏推定法, 映像情報メディア学会誌, vol. 63, no. 9, pp. 1207-1212, Sep. 2009.

17. N. Takahashi and I. Yamada, Steady-state mean-square performance of epsilon-
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20. M. Yukawa, K. Slavakis, I. Yamada. Multi-domain adaptive learning based on feasibility splitting and adaptive projected subgradient method, IEICE Transactions on Fundamentals, vol. E93-A, no. 2, pp. 456-466, Feb. 2010.

21. S. Theodoridis, K. Slavakis and I. Yamada, "Adaptive learning in a world of projections: a unifying framework for linear and nonlinear classification and regression tasks, IEEE Signal Processing Magazine, vol. 28, no. 1, pp. 97-123, Jan. 2011.

22. 山田功, 信号処理・最適化・逆問題— 学際的自由研究のたのしみ, 電子情報通信学会 基礎・境界ソサイエティ Fundamantals Review, vol.5, no.1, pp. 68-79, 2011.

23. I. Yamada, M. Yukawa and M. Yamagishi, "Minimizing the Moreau envelope of nonsmooth convex functions over the fixed point set of certain quasi-nonexpansive mappings," pp.345-390, In: Fixed Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering (Bauschke, Burachik, Combettes, Elser, Luke, Wolkowicz, eds.) , Springer-Verlag, 2011.

24. R. LG. Cavalcante, A. Rogers, N. Jenkings and I. Yamada, Distributed asymptotic minimization of sequences of convex functions by a broadcast adaptive subgradient
method, IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, vol. 5, Aug. 2011.




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キーワード

直交射影定理、劣勾配射影、ハイブリッド最急降下法、適応射影劣勾配法、非拡大写像、準非拡大写像、不動点集合
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